1.- Distribución de Boltzmann y Función de Partición transcript

Hola esta serie de vídeos que que empiezan ahora se van a tratar el objetivo final va a ser estudiar el cuerpo negro o sea concretamente la la radiación de un cuerpo negro eso será el final pero para poder empezar con buen pie Y ser autocontenido y entenderlo todo o casi todo tenemos que empezar por la distribución de bman esto fue una Revolución en su momento y es muy pero que muy muy potente y es bueno parte de la disciplina de de la de la física estadística o mecánica estadística entonces lo que voy a hacer ahora es poner un ejemplo con con pocos números o con o por ejemplo si estamos hablando de un de un gas de de partículas Pues en vez de poner 10 a la 23 partículas pues pongo nueve por ejemplo no es decir que vamos a a trabajar con un con un sistema pequeñito con números pequeñitos para entender qué es lo que está pasando y con las matemáticas podemos luego esto llevarlo al número de partículas que queramos no Pero al menos los conceptos estarán entendidos vale vamos a a suponer que tenemos un sistema le voy a llamar termodinámico pu por la simple razón de porque voy a hablar de temperatura vale o sea siempre que la temperatura aparezca en una en una teoría nuestra pues eh Normalmente se le se le añade la adjetivo termodinámico al al problema pero bueno Más o menos H de momento todos sabemos lo que significa que una cosa esté a una cierta temperatura más o menos y podemos medir presiones eh volúmenes eh En fin eh potenciales en fin cosas de la termo Pero hay una cosa que nos importa bastante que es la energía que pueda tener esta caja no Entonces supongamos que esta energía le llamo u se mide en joues o en las unidades que sean y nos dice la energía en promedio que tiene este sistema en el tiempo entonces supongamos que por ejemplo nos dicen que es 20 Bueno pues al cabo de un segundo Pues a lo mejor es 20,001 y al cabo de 2 segundos pues 19,999 es decir que esta energía irá cambiando oscilando o fluctuando como dirían los físicos pero en torno al valor 20 y eh y podemos decir que en promedio tiene esta energía vale por tanto en termodinámica cuando hablamos de energía hablamos de energía promedio en el tiempo muy bien entonces eh A partir de aquí pues podemos Saber cosas depende de cuál sea el sistema podíamos desarrollar toda la termodinámica pero nosotros no no queremos ir por el lado de la termodinámica sino queremos mirar aquí dentro qué es lo que ocurre Esa es la gran incógnita porque Sabiendo qué ocurre y relacionarlo con la temperatura y la energía total digamos pues es el cometido de la distribución de bman muy bien Vamos vamos para para hacer este modelo así como de juguete vamos a empezar suponiendo que aquí dentro tenemos nueve partículas número pequeñito y vamos a suponer que una partícula puede ser o por ejemplo o roja cuya energía vamos a poner un número no sé no sé vamos a ver qué número le podemos poner por ejemplo 4 vale si una pelota es roja quiere decir que tiene energía cuatro y si una pelota es azul que tiene energía dos déjame ponerle aquí eh Un dos perfecto vale estos son los dos posibles en nuestro modelo de juguete os dos posibles estados de energía para una partícula entonces aquí habrá nuev bolas algunas de ellas serán Azules y otras rojas Claro si Nosotros hemos medido desde fuera con algún método que la energía de aquí es 20 Pues claro nosotros sabremos que bueno si llamamos a ver n1 al número de partículas Azules y n2 al de las rojas pues sabremos que n1 será esto perdón que la un segundo que lo escribo O sea que la energía será las bolas que haya azules Por la energía azul más las bolas rojas por la energía roja y en total debe ser la energía esta que hemos medido 20 por ejemplo claro Entonces nosotros de aquí sabemos por por alguna teoría microscópica o la que sea eh somos muy listos y sabemos calcular que este sistema pues Estas son las dos posibles energías que tiene muy bien pues nos dicen que esto vale dos y que esto vale cuatro claro La pregunta es Cuántas hay Azules y cuántas rojas Bueno si uno empezara a probar con todas las posibles combinaciones que hay por ejemplo 0 9 1 8 o sea todas las posibles combinaciones que hayan que sumen que n1 má n2 sean 9 pues si uno va probando resulta que hay una única que da el el numerito este que concretamente es ocho Azules y una roja có cómo lo he hecho esto Bueno pues probando simplemente luego haremos un método un pelín más sofisticado pero ahora solo cuento de la vieja pues esto sería 8 20 correcto O sea que tendríamos solucionado nuestro problema en plan cuento de la vieja que es ponga este a contar así más o menos y descubrirá que el resultado de este problema es que hay ocho Azules y una roja y estaría resuelto el problema porque conociendo las partículas que hay aquí la energía las energías que tienen pues ya lo sabemos todo no muy bien entonces una posible digamos un posible estado de esto Pues sería pues 1 2 3 4 5 6 7 8 9 pero una de ellas es roja entonces claro déjame ponerlo esto aquí así claro pero la roja podría estar aquí no podría ser esta o también podría ser Esta es decir cuántas posibles maneras hay de que la energía sea 20 Bueno pues puede estar aquí aquí aquí o sea puede estar en nueve lugares no O sea que si llamamos Omega mayúscula a el número de configuraciones que puede haber aquí y que sea compatible con con djame poner aquí compatible con vamos a llamarle factores externos en este caso que la energía sea igual a 20 Pues claro en este caso s simple tenemos que como solo hay una partícula roja pues la partícula roja puede ser esta esta esta O sea hay nueve digamos no en este caso tenemos nueve Bueno pues bman se o sea digamos postuló y aquí es donde empieza la primera cosa divertida pues tituló lo siguiente dijo la entropía esa en la que se que se habla siempre en termodinámica resulta que es una cierta constante que él no le llamó la constante de bman Supongo que la llamaron sus amigos pero fue él el que la propuso una una constante a determinar por el logaritmo del número de configuraciones posibles o se O sea que en este caso la entropía sería la constante de bman que es algo así como 10 a la men 23 es un número pequeño pero da igual una cierta constante y en este caso sería logaritmo de 9 y esto pued daría un cierto número el que sea esto sería la entropía de este sistema entonces vale Esta es la definición Pero a qué se está refiriendo el asunto o sea Qué significa esto de la entropía no bueno la la entropía eh digamos los casos esos extremos es o bien es cero o bien es eh mucho o o intermedio Pero bueno los casos importantes de la entropía es que sea cero o que no lo sea negativo no puede ser porque el número de configuraciones siempre va a ser o una o mayor que uno por lo tanto o la entropía es cer0 o mayor que cer0 entonces la entropía será mayor cuanto Mayor Mayor Mayor número de configuraciones haya y será cero Cuando solo haya una configuración Perfecto entonces aquí tenemos nueve configuraciones por lo tanto logaritmo de nu por la constante K De qué manera la entropía podría ser cero Bueno pues un caso en el que la entropía fuera cero es que nos dijeran que efectivamente hay nueve bolas pero que todas las bolas son azules porque claro Cuántas configuraciones hay compatibles en el que las bolas todas las nueve sean eh azules Pues solo hay una por lo tanto la entropía en este caso sería K no sé qué por logaritmo de un una sola configuración igual a cer vale Eh entonces eh el postulado bueno el postulado sería digamos la primera parte del postulado sería decir que existe una cosa que seama entropía que es la misma que la termodinámica y que se relaciona con el número de configuraciones de esta manera pero luego hay otro otra apartado de este postulado que lo que dice es fijados unas condiciones externas como el número de partículas la temperatura la energía etcétera En este caso creo que sería lo que vamos a exigir sí correcto entonces Y fijaos también la energía de cada de cada o sea energías posibles de cada partícula Entonces el postulado de bolman lo que dice es que el sistema que realmente va a estar en en esta caja va a ser Aquel que la entropía es máxima O sea que el número de configuraciones compatibles con estas e vamos a decir restricciones es máximo Vale entonces voy a poner un ejemplo un poco pelín más complicado más laborioso que esto un pelín solo para que se entienda bien lo que lo que quiero decir Porque además quiero introducir el concepto de microestado y macroestado vale vamos a ver bueno estado un rato pensando eh un ejemplo numérico fácil para para para visualizar esto y y al fin lo he encontrado vamos a suponer que en este caso nuestra caja es un sistema termodinámico Por ejemplo con m vamos a ver cuántas partículas serían 2 cu va 14 14 partículas Okay y a diferencia de antes ahora vamos a a pensar que puede ser rojas azules o verdes Perdón vale la energía de las verdes eh vamos a suponer que es 37 la de las azules -51 también puede ser negativo no hay ningún problema y la azul cuatro Perdón la Azul la la roja muy bien y eh medimos la este sistema que está en equilibrio medimos su energía y resulta que nos da 100 jou por ejemplo la pregunta es cuánto vale n1 y n n2 y n3 es decir cuál es el número de partículas que está en el estado rojo el estado azul y en estado verde de tal forma que la suma de de estas cosas de estos números es 14 en este caso y que la energía que es n11 + n22 + n3 y3 de 100 Pero además de que se cumpla esto según el postulado de de wman que la entropía sea la máxima posible es decir lo que es equivalente que el número de configuraciones sea el máximo posible bueno pues la distribución de wman da respuesta a esto de forma automática Pero antes de llegar a eso pongo este último ejemplo para que se entienda bien y luego ya vamos con la deducción más general Bueno pues si uno empieza a investigar y tal se se puede dar cuenta relativamente fácil que el resultado o la respuesta a este problema es djame poner rojo primero el resultado es bueno dos posibles resultados y escogeremos uno de ellos para que se entienda claramente por dónde va el postulado un posible resultado por ejemplo resultado uno es que n1 valga 2 que n2 valga 4 y que n3 valga 8 si sustituimos estos datos aquí con sus energías correspondientes 4 - 51 37 que irían aquí aquí y aquí y sustituimos n1 n2 y n3 por estas cosas resulta que la energía da 100 bien por otro lado podemos encontrar otro resultado que es e n1 = a n2 = a 1 y n3 = a 3 fijaos que aquí estoy respetando que la suma es 14 eh o sea 8 2 14 y aquí también la suma es 14 O sea que esta restricción está cumplida perfecto eh En este caso la restricción esta también está está cumplida en este caso y en este caso también si lo calculá veréis que la energía vale 100 por lo tanto en en ambos casos se cumple estas dos cosas La el número total de partículas está fijado y la energía también pero y la entropía bueno la entropía vamos a poner la entropía de color magenta la entropía en este caso será el logaritmo del número de configuraciones y bueno en este caso también pero cuántas maneras hay de dadas 14 partículas eh ponerlas e dos rojas cuatro Azules y ocho verdes bueno Esto es combinatoria bueno ya doy el resultado sin demostrar porque es que si no esto no no va a acabar nunca pero es combinatoria digamos de de bachillerato No no es ninguna cosa rara eh bueno el problema es que De cuántas maneras podemos expresar o reordenar 14 pelotas siendo dos de ellas rojas cuatro de ellas Azules y ocho de ellas verdes noces el resultado es este 14 factorial factorial 4 factorial y 8 factorial esto digamos es el recuento de lo que estoy diciendo no sé si a lo mejor me animo en otro vídeo intento deducir esta fórmula pero esta Fórmula en este momento hay que creérselo tendría que irme ahora a parar todo esto y deducir vale Ya digo esto si queréis buscarlo en internet esto se llama mutaciones con repetición bueno lo de permutaciones porque hay un factorial y lo de la repetición es porque hay dos bolas iguales o sea rojas cuatro bolas iguales Azules y ocho bolas iguales verdes vale Esto es lo de repetición entonces si en si calculamos este este número en este caso yo yo lo he hecho y este número da déjame ponerlo Lila el número Este da que lo miro Bueno pues 4 5 045 vale o sea logaritmo de esto multiplicado por la constante de bman Y en este caso cuál sería el número de permutaciones pero de 14 partículas pero teniendo en cuenta que que 10 de ellas son rojas una de ellas es azul y tres verdes bueno Pues resulta que este número da Bueno lo pongo ya esto lo pongo aquí directamente este número da logaritmo de dónde estamos aquí lo tengo apuntado 4004 perfecto otro 0 cu muy bien O sea qué vemos pues vemos claramente que a pesar de que estos dos resultados cumplen las dos condiciones de de número partículas y la energía una de ellas tiene muchísimo más entropía que la otra pues el postulado de bman dice que esta es digamos la más probable o la que probablemente eh escoja el el sistema para estar por lo tanto las partículas no pueden ser sí de diferentes colores eh Y podían Bueno pues sa ver el número que fuera en principio y muchos resultados compatibles con con con estas dos cosas pero solo hay algunos de ellos o uno de ellos que cumple con que la entropía es máxima y este es el sistema que va adopt Perdón Esta es la configuración que va a adoptar el sistema Entonces ahora ya es conveniente hablar de lo que sería microestado y macroestado el macroestado eh se define por estos números o sea esto de aquí el decir estos números esto es dar el macroestado pero dado o fijado estos números estos Macro estados eh resulta que el número Este de aquí son los microestados vale o sea en este caso el de arriba que se ve más fácil eh Cuál sería el macroestado Bueno pues esto dar digamos las poblaciones para entenderlo para decirlo de alguna manera las poblaciones Azules y rojas esto sería el Macro estado y fijado este macroestado pues este caso tendría dónde estás donde lo calculado aquí nu microestados compati con este macroestado es decir que si solo hay una bola eh roja bueno correcto si está aquí aquí aquí Bueno en cualquier de cualquiera de los sitios que esté sigue habiendo una bola roja Por lo tanto es compatible con esto pero hay nueve maneras diferentes de e de poner de configurar el sistema de forma que sea compatible con esto esas nueve veces se llaman se llaman nueve microestados Yo creo que con este ejemplo está está más claro no microestados Por lo tanto lo que el postulado de bman habla de alguna manera de fijado el macroestado Pues digamos el elcro o sea para entendernos sería que el Macro es igual a al máximo número de micro estados es decir que la entropía sea máxima porque la entropía cuenta de alguna manera el logaritmo de de microestados vale Y aquí aquí se ve la la razón no es muy no es muy difícil de entender porque botman pensó Esto sí que es sorpresiva y muy Audaz y muy brillante pero una vez dada no no no debería sorprender tanto por qué Pues porque si suponemos que que todas las posibles configuraciones Son son son posibles digamos no entonces en en 45,000 veces nos vamos a encontrar Eh Esto y 4000 veces no vamos a encontrar esto por lo tanto es más probable que cuando miremos al azar encontremos esto que no esto por lo tanto es más posible que el sistema se encuentre de esta manera que no de esta digamos esto sería en plan en plan tonto no muy bien pues vamos a hacer esto mismo que acabo de hacer pero eh matemáticamente más más formal no pero son las mismas ideas Eh bueno la técnica que voy a utilizar ahora se llama Uy Perdón un segundo ahora se llama eh la técnica de multiplicadores de la granch entonces eh claro podía deciros bueno mirarlo en internet y aprender o un libro y mirarlo eh Pero bueno quizá a lo mejor sea que haga un ejemplo super rápido para que veáis de qué va y así se entenderá perfectamente lo que va a venir vale bueno la técnica de multiplicadores de la granch lo que básicamente nos ayuda es a dar una función de varias variables no sé por ejemplo dos variables Aunque pueda haber un montón de variables Bueno pues lo que hace es calcular el máximo o el mínimo de esta función pero sometido a restricciones por ejemplo una restricción sería una otra función de la misma variable es igual a cer vale a ver por ejemplo si tengo que fdx y es una función por ejemplo esta que es super facilona y nos preguntamos Cuál es el mínimo Bueno pues el mínimo será x0 e = 0 sin haber pensado mucho porque esto es un paraboloide Y entonces si tenemos aquí x aquí y por aquí Z Pues el mínimo está aquí en 0 0 para la x y la y y se acabó el problema Pero y si nos dicen no no pero es que deseamos que que la x y la y no sea cualquier cosa sino que sea por ejemplo pues no sé por ejemplo x + 2i igual a Perdón perdón que x + 2i sea por ejemplo igual a 8 por decir algo no decimos Bueno pues entonces claro eh si tenemos esta restricción que la X La y tiene que cumplir Esto entonces ya no será el 00 será cualquier otra cosa una manera de ver esto es que si si miramos de arriba a abajo esta cosa de aquí pues es una función cuyas curvas de nivel son estas no esto sería el el eje x y el eje y y esta cosa de aquí Pues será igual a - x + 8 par 2 O sea que esto es una función que bueno tiene esta pinta no está en cu pendiente oa Esto es algo así esta función esta de aquí en el eje x y por lo tanto será una cosa así vale entonces claro ahora digamos tenemos que que seleccionar el punto que que pertenezca a esta función pero pero que también pertenezca a esta Entonces por ejemplo imaginemos que fuera este punto de aquí pues este sería sería el mínimo ahora de la función vale porque tiene que ser algún punto que esté que esté sobre esta recta y entonces pues este sería el resultado Cómo tenemos este resultado estoy yendo muy rápido porque se supone que esto ya lo deberíamos saber y si no pues mal vamos porque estoy suponiendo en este curso que hay un mínimo de baje matemático vale eh buen cómo se cómo se hace el asunto Bueno cómo se resuelve esto en plan multiplicadores de la gran pues muy fácil la gran lo que dice es bueno coge tu función x cu má I cu y eh réstale una cierta Landa por esto por la restricción en nuestro caso la restricción consiste en pasar todo a un lado igualado a 0 Y esta es la restricción x + 2i - 8 y y esta nueva cosa le podemos llamar el la función de la granch O como queráis no y el truco consiste en diferenciar parcialmente esta cosa con respecto de X igualarlo a 0 Y esta cosa también con respecto de y igual a 0 con respecto de X tendríamos 2x - lambda y nada más igual a 0 Y aquí teníamos la derivada con respecto de I es 2i menos 2 lambda y ya está igual a c vale si despejamos tendremos que x es igual a lambda medios y aquí que y es igual a lambda entonces una vez tenemos esto sustituimos estas condiciones aquí que sería lambda medios + 2 y la i es lambda igual a 8 esto sería 5 medi de lda si no me equivoco y lda sería igual a 16 paro 5 por lo tanto la solución a nuestro problema Sería x = a L medios por tanto sería 85 y la Landa que es 16 esta sería la solución con los multipor de la grancha muy bien Vamos ahora al problema que queremos resolver nosotros lo que queremos resolver es la entropía La queremos hacer máxima y las restricciones son que n1 más n2 vamos a suponer que solo tenemos dos tipos de colores dos tipos de de energía pero la generalización será vamos inmediata en vez de poner aquí un montonazo de de posibles colores y montonazo de posibles energías podía poner Solo dos porque es que cuando encontremos la fórmula va a ser inmediato generalizar cuando tengamos un montón y así me ahorro muchísima escritura Vale pues e vale ambas cosas eh la n y la u van a ser igual a constantes perfecto y Nuestro objetivo es encontrar n1 y n2 que maximiza s correcto Exacto muy bien antes de nada como bueno recordemos que esto era déjame no poner la B de botman ya lo pondré al final para no arrastrar pero dejadme recordar que recordar que esto era n1 factorial n2 factorial vale era esto y Eh bueno y y que bueno que esto por por la propiedad de de los logaritmos pues las cosas que están multiplicando se suman y las cosas que están dividiendo se restan se restan por tanto esto será k logaritmo de n factorial - k logaritmo de n1 factorial - K logaritmo de n2 factorial muy bien y ahora es conveniente eh recordar por si alguno ya lo sab pues recordar y si no lo sabéis pues conocimiento nuevo que es lo que se llama la aproximación de stirling sing lo que viene a decir es que si si n es muy grande y también n1 muy grande y n2 también que esto es lo habitual en termodinámica Entonces el logaritmo de una cosa vamos a decir grande factorial es lo mismo que esa cosa por logaritmo de esa cosa menos esa cosa donde esa cosa quiere decir un número eh Por lo tanto la entropía en la aproximación de stirling será k multiplicando a todo vale a todo Bueno pues logaritmo de n factorial Bueno pues será aplicando la fórmula de ste n logaritmo de n - n y aplicando la fula stilin Pero ahora con con menos eh menos abro paréntesis eh lo mismo con n1 por tanto n1 logaritmo de n1 - n2 logaritmo de n2 - n2 fantástico muy bien Por lo tanto la entropía queda kn logaritmo de n menos kn men n1 K esto es correcto sí logaritmo de n1 más porque hay un menos menos K n1 eh qué más menos correcto que no me equivoqué k n2 logaritmo de n2 y ahora sería menos menos por tanto más kn2 entonces qué es kn1 + kn2 bueno pues kn1 + kn2 es igual a kn n Por qué Pues porque n1 + n2 es n por lo tanto si estas dos cosas es igual a kn y aquí tenemos un - kn quiere decir que esto se va perfecto por lo tanto la entropía será kn logaritmo de n - n1 k logaritmo de n1 - n2 K logaritmo de n2 y queda más Cuco y más sencillo en verdad no es igual Es aproximadamente igual pero cuando pase esto que es lo que va a pasar será prácticamente igual a todos los efectos muy bien entonces no queremos maximizar esto sino queremos maximizar esto sujeto a restricciones entonces eh qué hacemos pues en vez de llamar a esto s le vamos a llamar la función lagrangiana o como queramos hacerlo y le vamos a restar las restricciones que eran n1 + n2 - n vale que esto es eh Como hemos hecho antes pues este señor pasar todo a un lado igualado a cero sustituirlo aquí y lo mismo vamos a hacer con esto el la u pasa al otro lado igual a cero y y fantástico Entonces será - Beta pues n1 y1 + n2 y2 - u fantástico y ahora vamos a hacer la derivada de esto con respecto de n1 porque recordemos que las variables objetivos son n1 y n2 son como la x y la y Para entend nuestras variables que que deseamos obtener aquellas aquellos valores que maximizan la entropía sujeto a esto entonces derivamos Y luego le volaremos a cero vale n1 dónde aparece pues aparece aquí y aquí y aquí por lo tanto en cuanto a esto tendremos el menos y una K Esto está clarísimo y luego voy a poner el factor común será la derivada de n1 que es 1 por el logaritmo de n1 más n1 por la derivada de logaritmo que es 1 par n1 luego lo arreglo aquí nada aquí tendremos menos Alfa porque la derivada con respecto de n1 es esto menos Alfa y aquí tendremos menos beta1 y esto tendrá que ser igual a 0 y luego por simetría Esto va a dar lo mismo pero con n2 por qué Por simetría porque porque claramente si intercambiamos los los índices uno y dos es lo mismo o sea si cambiamos este uno por un dos y este dos por uno esto se queda igual aquí lo mismo eh Y aquí lo mismo si cambiamos también por supuesto la y1 la y2 no cambiar los índices no y si no bueno pues se comprueba ya está muy bien entonces Eh simplificamos Esto evidentemente va a dar un esto también por lo tanto djame ponerlo aquí Esto va a dar menos k logaritmo de n1 - K más vale es correcto porque esto hay en un correcto menos Alfa menos Beta y1 = a 0 Y nuevamente simetría - k logaritmo n2 - k - Alfa Perdón aquí me estoy dejando una K Ah no no está men Alfa menos Beta y2 muy bien Vamos a despejar ahora n1 vale n1 a que será igual veamos eh vamos a pasar al otro lado esto esto al pasarlo al otro lado quedará positivo pero con este menos volverá a quedar negativo por lo tanto será eh - K - Alfa men beta1 y luego eh tenemos la k est dividiendo vale el menos ya lo hemos tenido en cuenta y luego el logaritmo pasar en forma de exponencial voy a repasarlo por moscas esto nos quedará tal correcto y n2 lo mismo pero con un dos men k K men Alfa men beta2 parido k y bueno vamos a arreglar esto un poco Esto será a ver tenemos una resta de términos aquí arriba la exponencial Por tanto se va a transformar en producto y me va a convenir transformarlo en este primer producto que será menos entre K es -1 y luego - Alfa entre K esto sería el primer término y el segundo término exponencial de - Beta y1 Aquí hacemos lo mismo -1 - Alfa par K exponencial de - Beta y2 muy bien fantástico muy bien e a ver aquí podíamos hacer muchas cosas como renombrar esto Y tal Pero vamos si acaso hacer una una cosa vamos a poner si es que estoy por hacerlo venga lo voy a hacer Alfa es una constante a determinar Entonces cómo se bueno y Beta también Cómo se determina sustituyendo las condiciones No lo que pasa es que podríamos y digamos llamar este número algo lo que sea por ejemplo a y determinar a que será equivalente a determinar Alfa lo digo para no ensuciar mucho el cálculo y sea más fácil de ver vale determinar O sea la exponencial de una constante determinar esa constante es como determinar la constante en sí toda entera vale es equivalente lo mismo que se hace las ecuaciones diferenciales por ejemplo y aquí tenemos - Beta 2 muy bien Qué es lo que se ha de cumplir pues las restricciones son que n1 + n2 tiene que ser igual a n esto implica que eh a por este exponencial eh más a por este exponencial tiene que ser igual a sacado un factor común a y nos queda que e - beta1 + e - beta2 tiene que ser igual a n correcto luego por otro lado también se tiene que cumplir que n1 por1 má n2 por 2 sea u era la otra restricción por lo tanto sustituimos y vamos a sacar factor común a también y quedará y1 e - beta1 má y2 e - beta2 igual a u Vale y ahora vamos a a dividir estas dos cantidades o sea estas dos ecuaciones vamos a poner u entre n Por qué hacemos esto pues lo hago para que se vaya a Entonces nos va a quedar y1 por esta exponencial má 2 por esta dividido entre esto más e - beta2 muy bien perfecto y ahora viene aquí una cosa una cosa divertida A ver vamos a ver si lo digo bien a ver u será igual a algo no A qué algo bueno Pues será igual pasamos esta n otra vez aquí esto Esta división ha sido para para quitarnos a de encima Pero ahora que ya no las hemos quitado pues vamos a poner las cosas en función de u para ver para para interpretar los datos no vamos a pasar esta n aquí multiplicando y vamos a poner vamos a separar esto estos dos sumandos vamos a poner el primer factor que será y1 dividido entre todo esto esto parece que estamos dando vueltas y haciendo cosas sin sentido Pero en realidad va a tener mucho sentido y por eso lo estoy haciendo muy bien y luego tenemos la N O sea esta misma n porque multiplica todo y la misma cosa pero con y2 y y esta exponencial muy bien Qué vemos aquí vale pues aquí vemos De hecho estoy un poco atontado porque para verlo bien tenía que haberlo puesto un segundito que estoy un poco atontado un segundo sea ya es correcto lo que he hecho lo que pasa es que me convenía más poner aquí por razones que enseguida se van a ver 1 2 o sea esta y aquí la exponencial mis disculpas Vale ahora ahora Esto es lo que yo quería vale Por qué por qué esto es interesante porque os recuerdo la fórmula original de n1 o sea perdón de energía que a ver con las prisas estoy escribiendo F a ver n11 más n22 vale esto era la restricción y lo acabo de poner de tal forma esto para que podamos comparar directamente con n1 y con n2 Aquí está est era lo que yo quería por tanto esta cosa tiene que ser necesariamente igual a esto Bueno no sé si tiene que ser necesariamente pero nosotros imponemos que estas dos cosas sean esto y además tiene sentido porque eh Porque el factor este es común para los dos pero el factor de aquí arriba solo depende de dos y el factor de arriba solo depende de uno por tanto tiene muchísimo sentido así que a esta cosa le vamos a decir que es n1 queremos que coincida con n1 y esto con n2 por lo tanto eh si ahora cogemos n1 y lo dividimos entre n vale pues como n1 es todo esto si lo dividimos entre n esto se va pues queda esto de aquí esto no no tiene ningún misterio y ya casi estamos a donde yo quería llegar Casi casi bueno y más de lo mismo aquí n2 parido n y sería la misma cosa aquí abajo 1 más e- 2 e - Beta el2 muy bien qué es esto pues esto es del total de partículas que hay en la caja Cuántas hay de color rojo por ejemplo no esto se puede interpretar perfectamente como una probabilidad probabilidad de que dada en pelotas encontrar una roja Por lo tanto esto lo bautizo como la probabilidad de que una pelota sea roja y como depende de este factor Beta que aún no sabemos Qué es bueno pues esta probabilidad dependerá también de de Beta sea lo que sea Beta Enseguida lo vamos a determinar pero no quiero guardar Ahora aquí la la nomenclatura ya sabemos que depende de Beta porque porque hay una Beta por aquí vale Y también de las é o sea depende de varias cosas pero lo importante es que esto le podemos bautizar como la probabilidad de encontrar de quedada n pelotas pues encontrar la roja y esta será la probabilidad de encontrar el azul bueno para que sea una probabilidad o por lo menos sea una buena candidata tiene que cumplir que estos dos valores sean positivos y que sumados den uno pero así ocurre muy sencillo porque ya solo con primero si tenemos esto y dividimos la ecuación entre n pues pues ya da digamos no eh Pero además tiene que pasar que estas cosas sean positivas y también ocurre eso porque la exponencial siempre es un número positivo da igual que haya que un menos por tanto número positivo entre número positivo Esto va a dar positivo por lo tanto es una buena definición de de probabilidad otra cosa es que funciona o no que ya digo yo que sí que va a funcionar pero es Es buena entonces qué vemos pues lo que decimos es que eh dado un sistema de bolas rojas y azules podemos Definir la probabilidad de de un color concreto puede ser uno o dos como la exponencial de e eh men Beta é y donde I es 1 2 bueno o los colores que haya y la suma y la suma esta buen Perdón Aquí sí que es 1 más esto Perfecto entonces como este factor es común a todas las probabilidades es es es Es bueno llamarlo con un nombre y vamos a utilizar el mismo nombre que que aparece en los libros de texto a esta cosa Aparentemente tan inocente se le llama Z y va a depender de Beta como Es lógico aparte porque las energías ya están dadas en principio aquí el factor incógnita Cuánto vale la Beta como una especie de parámetro que hemos introducido como si fuera una variable más no por lo de los mador de esta cosa se llama función de partición y es central en mecánica estadística si sabes la función de partición lo sabes todo bueno todos igual es muy exagerado pero vamos a poner el 95 por de todo o sea saber la función de partición de un sistema es tener el poder eh como como veremos con algún ejemplo después bueno entre otras cosas a partir de la función de partición vamos a calcular la radiación del cuerpo negro o sea que algo de Gracia va a tener no Entonces qué es digamos lo lo gracioso de la función de partición Bueno pues fijémonos en un detalle eh Z es igual a esto como acabamos de ver muy bien La pregunta es a Qué es igual la derivada de Z con respecto de Beta Bueno pues es igual a cogemos derivamos esto no y será la derivada esto con respecto de Beta Pues será menos y1 menos Uy me ha salido 2 e men bet y2 muy bien y si ahora cambiamos de signo esto pues Esto será un más y un más y si dividimos entre Z Bueno pues dividimos entre Z eh e men Beto 1 + e men vale Y qué es esto Pues si miramos un poco para arriba Vamos a ver si me cabe aquí esto a ver si me cabe no me va a caber pero pero es esto o sea fijaos es la las exponenciales arriba pero con y1 y y2 y y luego la suma la suma Esta no es decir que que es la u partido n esto de aquí o sea o sea esto Esto es la leche por tanto esto es igual a u n entonces que Pero además esto hay un truco bueno a ver lo voy a poner aquí ya sabéis que si tenéis el logaritmo de una caja y derivándose por la derivada de la caja no Eh Esto es regla de las derivadas normales y corrientes por lo tanto podemos decir que es 1 partido la caja por la derivada de la caja vale pues aquí tenemos un partido una caja por la derivada de la caja o sea que podemos ponerlo de esta manera así que esto es menos logaritmo Perdón menos la derivada parcial del logaritmo de Z que es igual a u entre n entonces aquí tengo que hacer una pequeñaa aclaración Que es que esta esta cosa de aquí la tenemos que llamar Z1 Por qué Z1 porque esto estamos hablando de una sola partícula de la de la suma de las posibles energías de de las exponenciales de energías de una sola partícula a ver este uno hace referencia a una sola partícula ens seguida veréis por qué digo esto por lo tanto esto es Z1 o sea todo todo rato es uno correcto correcto Y entonces eh llamaremos a ahora a Z tal cual sin uno a todas las partículas la llamaremos eh o sea la definimos como Z1 elevado a n sé que esto es un poco misterioso ahora pero enseguida se entenderá veamos esta n es una constante por lo tanto la puedo pasar al otro lado multiplicando y como es una constante la puedo entrar dentro de la derivada y por las propiedades logaritmos la puedo colocar en el exponente Y si ponemos Z1 elevado a n ya vemos que es Z no lo digo porque quiero llegar a esta maravillosa fórmula que es que u la energía es menos la Ada parcial con respecto de Beta que aún no sabemos lo que es Beta pero Enseguida lo vamos allá de El logaritmo de Z donde de momento para nosotros Z es Z1 elevado a n donde Z1 es lo que he puesto antes esto es Z1 claro alguien se estar preguntando Pero bueno pero Beta qué es uida enseguida vamos a eso muy bien Ahora Nuestro objetivo es determinar en beta pero para eso vamos a bueno primero Borrar todo esto y eh o sea para encontrar lo que es Beta necesitamos Aunque ahora no se vea por qué pero si ya se va a ver necesitamos encontrar la entropía en función de de Z entonces la la entropía Qué era la entropía lo tenía por ahí apuntado vamos a ver que lo había resumido bastante bien eh aquí aquí la tenemos la entropía es eh es este término de aquí Este término y este término vamos a ver cómo hago yo esto déjame voy a hacer una cosa voy a borrar esto lo que es la entropía será K n logaritmo n - n1 k logaritmo n1 - k n2 logaritmo n2 es decir he copiado esto pero sin sin las cosas rojas que están tachadas vale Y ahora vale vamos a encontrar o vamos a expresar s en función de de Z a ver cómo hacemos esto Bueno claro necesitamos eh tener claro que a ver que p1 digamos tiene o sea aparte de ser n1 partido partido n como n1 contiene la la la z por ahí pues por ahí aparecerá Entonces lo primero que vamos a hacer es utilizar estas cosas para poner la entropía un poco más atractiva o sea de estas cosas que vemos pues que n1 será igual a np1 y lo mismo con n2 muy bien Vamos a sustituir ahora kn n bueno la k como está todo el rato voy a hacer una cosa voy a dividir esto entre K un momentito para no tener que estar arrastr espérate para no tener que estar arrastrando vale o sea estas cas que están aquí las paso dividiendo aquí entonces nos queda n logaritmo de n men n1 pero n1 es esto no n p1 correcto logaritmo de n p1 men np2 logaritmo de np2 y como este n también está Por aquí todo el rato pues voy a pasarlo dividiendo también y nos queda logaritmo de n men p1 vale Bueno lo pongo lo pongo menos p2 logaritmo de n p2 Perfecto entonces qué es esto esto valor Esto es lo mismo que logaritmo de n más logaritmo de p1 porque como es un producto se transforma una suma y lo mismo ocurre con esto logaritmo de n má logaritmo de p2 muy bien Por lo tanto s parido kn será igual logaritmo de n men p1 que multiplica a esto logaritmo de n menos más o sea menos p1 logaritmo de p1 fantástico y ahora - p2 que multiplica al logaritmo de n y - p2 eh Exacto eh un menos también p2 logaritmo de p2 muy bien pero ahora vamos a ver qué pasa aquí Qué le pasa a esto eh a esto y a esto Pues que podemos Bueno de hecho a esto también que podemos sacar factor común logaritmo de N O sea que quedará logaritmo de n que multiplica a al 1 que hay aquí men p1 y men p2 vale esto es digamos estos tres términos están resumidos aquí pero resulta que como p1 y p2 la suma da 1 y está negativo con este 1 se va y todo esto se va por lo tanto ese directamente solo nos queda pues lo que nos ha ido que es - p1 logaritmo p1 - p2 logaritmo p2 esto esto que está aquí aquí es digamos lo que lo que se inventó el eh no me sale el nombre Bueno ya me saldrá pero pero fue digamos el el el creador de la teoría de la información el padre de los ordenadores que ahora no me va a salí el nombre Bueno ya ya me sal el nombre pero bueno Esta es Digamos como utiliza la entropía eh la gente cuando quiere hacer teoría de la información y es me sale de forma natural o sea que esto es maravilloso Entonces tenemos que la entropía será igual ya ponemos la las cositas será n por eh menos Bueno vamos a poner la constante de voltman aquí también esto es la constante de bman eh Por - p1 logaritmo p1 - p2 logaritmo p2 muy bien Entonces qué era p1 p1 era lo que hemos puesto antes vale eh pero p1 era o sea O sea si revisamos el vídeo un poco más para atrás veríamos que p1 era e men Beta y1 parido Z vale pué revisar el el vídeo y veréis que es es lo que es qué es lo queem hemos encontrado vale Y lo mismo con p2 e - beta2 Z muy bien Por lo tanto es será igual a n la constante de volman que multiplica a menos esta p1 e - beta1 par Z logaritmo de e - beta1 parido Z y la misma historia pero con un dos Muy bien Entonces paso esta Z factor común vale por tanto esto ya no está Eh bueno aquí que hay un más también va a haber un menos pero bueno lo dejo de momento tendemos e a la men Beta y1 es este factor de aquí con este menos pero ahora eh esta cosa de aquí se va a transformar en logaritmo como una división será una resta o sea resta de logaritmos e a la men beta1 men logaritmo de Z Estamos de acuerdo no porque esto es una logaritmo de una división es resta de logaritmos por tanto será logaritmo de - Beta y1 - logaritmo de Z más las mismas cosas pero con un 2 y esto que no se confunda esto es aparte vale fantástico de acuerdo por lo tanto ese será igual n constante de bman partido Z este factor de aquí lo pasamos aquí por las propiedades de los logaritmos y logaritmo periano de es 1 por lo tanto queda o sea quedará un menos con este menos es más Beta é1 e - beta é1 y luego quedará menos menos es más e - Beta 1 logaritmo de Z esto sería el asturo y vamos a copiar ya lo mismo con con el número dos por tanto será Beta y2 e - Beta y2 + e - Beta y1 logaritmo de Z correcto muy bien Vamos a fijarnos en esto y esto se puede sacar factor común logaritmo de Z y el factor común será e a la men beta1 + e a la Uy esto es un dos men B y 2 Pero esto qué es esto es Z de acuerdo por lo tanto tendremos n K b y esta Z ahora la voy a entrar dentro entonces cogeremos Este término de aquí y este término de aquí y lo vamos a dividir entre esta Z que acabo de entrar beta1 men 1 + Beta 2 e - 2 dividido entre la z que acabo de entrar y luego estos dos términos estarán divididos también por Z Porque la estoy entrando Pero estos dos términos es lo mismo que esto y hay una Z aquí por lo tanto se irá y Solo queda el logaritmo de Z fantástico fantástico fantástico y aquí en vez de volver a copiar otra vez Aquí vemos que esta Beta la puedo sacar factor común aquí y esto Qué es nuevamente esto que está todo relacionado Eh Esto de aquí es u Perdón u u Perdón u pardo n Perdón perdón perdón u partido n déjame comprobarlo un segundo eh dónde estás Exacto u partido n era las s las s entre la Z1 correcto vale Y aquí nuevamente otra vez me he despistado y tenía que haber puesto la Z1 todas estas Z son unos Ay Dios mío qué despiste Pero bueno ya sabéis que la Z1 era lo que la suma de de exponenciales y la z esta extraña bueno que ya veréis que no es tan extraña es Z1 elevado N O sea todas estas Z son unos Perdón I'm so sorry Pero bueno todo lo que he dicho es correcto no hay problema todo esto son zas 1 Bueno me estaré dejando alguna seguro pero bueno Vale recordad que Z1 se refería a la z a la suma de todas las configuraciones energéticas de o sea de las exponenciales de la energía para posibles para una sola partícula entendiendo que todas las partículas son iguales muy bien fantástico por lo tanto qué nos queda que ese será igual Bueno ahora ya podemos entrar la n vale si si entramos la n Bueno ya entramos todo por tanto en el primer término la n se va a ir y queda K beteta eh Perdón k beteta k de bman por la Beta por la u bien y luego este señor va a quedar pues tal cual n kb logaritmo de Z 1 Entonces esta esta n de aquí la podemos poner aquí arriba y entonces ya sí bautizar como como Z tal cual Así que será la constante de voltman Beta u más la constante de voltman y logaritmo de la z a secas donde la z a secas recordad que es esto muy bien ya tenemos la entropía y recordad que que la u era menos lo hemos deducido hace unos segundos era menos la derivada parcial con respecto de Beta de logaritmo de Z por lo tanto la entropía en función del de la z será Ah la u aquí parece un menos por será menos la constante de voltman por la Beta correcto derivada parcial con respecto de Beta de logaritmo de Z más la constante de bman e logaritmo de Z esta Z es la z Z no es la Z1 eh o sea esto O sea no es lo que habíamos dicho antes eh Porque si hubiera aquí un uno Eso quiere decir que que habría aquí una una una n Y entonces O sea que que esa fórmula es correcta vamos por tanto esta También muy bien pues ya llegó el momento de saber lo que es Beta acostado pero vamos a saber lo que es beta en 2s segundos y para saber lo que es Beta pues tenemos que recurrir al primer principio de la termo perdón sí primer principio de la termo que dice que un cambio en la energía del sistema viene dado cuando el número de partículas es constante vale Y no no hay cosas raras ni Campos magnéticos ni nada más eh en los casos sencillos digamos cuando un cambio de energía del sistema viene dado por un cambio de entropía multiplicado por la temperatura menos la presión multiplicado por un cambio de volumen lo que quiere decir a efectos prácticos para nosotros es que este término es la derivada parcial de la variable que hay aquí Bueno de la cosa que hay aquí es una u con respecto la variable que hay aquí o la variable de estado o función de estado como queráis s y e Ah Exacto eh un segundito correcto y a volumen constante o sea esta variable que hay aquí pues es la que nos Define qué es lo que se mantiene constante bueno esto son cosas de la termo es decir la termo nos dice esto y luego habría que decir por qué lo dice pero claro para para ver por qué lo dice habría que hacer termo y no podemos hacerlo todo quizás un día me ponga a hacer termo en otro vídeo pero ahora claro no tenemos que creer lo que dice la termo y además la termo tiene bastante razón porque ha dado cosas muy muy buenas y entre ellas el primer principio que es la conservación de la energía y relacionado con la entropía no O sea que esto Esto es verdad Muy bien HM Para qué nos sirve esto Bueno pues para que aparezca la t por algún sitio Tenemos aquí la la entropía tenemos la u Y tenemos esta temperatura aquí por lo tanto tenemos que encontrar la la derivada parcial de u con respecto de s y igualarlo a la temperatura y con eso sabremos lo que es Beta Así que vamos a ello hacer un hueco como nos dicen la derivada de parcial de u con respecto de s tenemos que despejar u de aquí Así que la vamos a despejar u será igual a s menos eh la constante de bma por logaritmo de Z dividido entre K Beta Perdón kb Beta muy bien así que la derivada de u con respecto de s a volumen constante será igual Bueno claro qué términos dependen de s aquí digamos no O sea dependen digamos no a nivel total sino parcial Pues solo Este término por lo tanto será un partido esto así que esta derivada va a dar simplemente esto y esto necesariamente tiene que ser la temperatura porque lo dice la termo por lo tanto nos especifica Entonces ya por fin qué es Beta Beta despejando de aquí es 1 partido la constante de B por la temperatura esta es la famosa Beta que por cierto mucha gente ya le llama Beta directamente o sea eh se hacen muchos cálculos con respecto a Beta porque es mucho más fácil y luego al final de los cálculos se sustituye la Beta por esto y ya está pues pues pues ya está Hemos llegado a a lo que queríamos bueno Y deciros también una cosa que ya que lo tengo es lo de la lo de la presión eh según la termo la presión es la derivada de la energía con respecto del volumen a entropía constante vale Esto es lo que dice lo que dice entonces claro a entropía constante no sabemos lo que significa por lo tanto con esto lo tenemos complicado para calcular la presión o sea que a pesar de que esto está bien pues no no nos sirve mucho No pero hay una función que se llama de henhold la a que se define de la siguiente manera a es tal que un cambio en el potencial de hh esto insisto es termo también eh Por lo tanto no lo tenemos que creer y ya está un cambio en la en el potencial de hh es men s de T men p de v v por lo tanto si Queremos saber la presión la presión ser la menos presión sería la derivada de de potenci de hh con respecto de V a temperatura constante esto ya es más más fácil de de dilucidar No claro La pregunta es bueno pero y Qué es a O sea a en función de de Z digamos no bien Pues para eso eh la verdad es que lo tenemos bastante fácil porque resulta que a el potencial de ejemplo se define digamos tal cual como u - t por s Así que e Así que esto es muy fácil porque Qué sabemos Pues que la u es menos la derivada parcial con respecto de Beta de logaritmo de z t eh eh este o sea no hay problema y ese es todo el carro que tenemos a ver dónde est bas s estamos con que a era esto perdón a era esto y hemos puesto que la u es esto de aquí menos t y falta la s y la s es todo esto por tanto menos Bueno un segundo menos K volman Beta derivada del logaritmo de Z con respecto de beta más k bman logaritmo de Z y voy a borrar todo esto Ah muy bien y veremos que esto a que parezca muy complicado en realidad se va porque fijaos que t es es un partido kbt por lo tanto como aquí tenemos kbt esta t y este kbt se van a ir y menos con menos es más por lo tanto queda queda esto de aquí que es lo mismo que aquí pero cambi de signo por lo tanto esto y y esto se va y qué nos queda Pues nos queda menos t menos t por la constante de bman logaritmo de Z y si lo queremos poner en función de Beta Pues será 1 par Beta logaritmo de Z O sea que a simplemente es esto os logaritmo de Z parido Beta esto es útil porque así ya cierro círculo así la fórmula final que que quería poner Es que la presión que hemos que según la termo se haya fácilmente de esta manera la presión será menos la derivada con respecto del volumen de a pero a es esto de aquí por tanto menos menos es más logaritmo de Z partido v y todo esto teniendo en cuenta que la temperatura es constante O sea que Beta es constante si Beta es constante puede salir fuera así que esto quedará 1 partido Beta por la derivada del logaritmo de Z con respecto del volumen a Beta constante y esto es una forma maravillosa de encontrar la presión ya tenemos todos los ingredientes así básicos y fundamentales para resolver estadísticamente hablando muchos problemas pero no solo eso sino que además con este método podemos incorporar la mecánica cuántica de las correcciones a a la termocasa del cuerpo negro o otras cosas o las capacidades caloríficas a bajas temperaturas que la termo pues no funcionan y entonces con la mecánica estadística y correcciones cuánticas se puede solucionar por tanto esto abre un campo maravilloso y y el esquema para acabar este este vídeo y est y este vídeo bastante largo es que en en termo digamos eh Perdón en termo En estadística una vez sabes el sistema con n fijado u fijado y una temperatura concreta eh Y fijadas digamos las energías Bueno aquí me ha faltado decir que estas fórmulas valen eh o sea no solo para eh dos energías sino para todas las energías que queramos vale esto no no tiene restricción que dec que que la Z1 será pues eh las es Y en vez de solo quedarnos hasta hasta el dos pues hasta el infinito hasta bueno el infinito no hasta Todas las energías que haya vale Y por tanto habrá habrá e Pues un montón de de de bolas de de diferentes colores que sumadas tienen que dar el número de bolas totales vale o sea las fórmulas se se generalizan muy fácilmente Bueno pues dado dado un sistema con todas estas características e nosotros podemos encontrar digamos la z la z de ese sistema Y a partir de la z podemos encontrar la energía la en función de la temperatura la la presión la el potencial de ghot la entropía O sea un montón de cosas este sería digamos el esquema general los próximos vídeos quizá pongo algún ejemplo para ver cómo va esto antes de de entrar directa Bueno de hecho tendré que poner algún ejemplo sobre todo del gas ideal para para relacionar ideas y el oscilador armónico que es la base de lo de la radiación del cuerpo negro pues gracias por el vídeo hasta hasta pronto